机器学习中的 Shapley 值怎么理解？

我第一次听说 Shapley 值是在学习模型可解释性的时候。我知道了 SHAP，它是一个框架，可以更好地理解为什么机器学习模型会那样运行。事实证明，Shapley 值已经存在了一段时间，它们最早起源于 1953 年的博弈论领域，目的是解决以下情况：

一群拥有不同技能的参与者为了集体奖励而相互合作。那么，如何在小组中公平分配奖励？

当一个「旧」概念被应用到另一个领域，如机器学习，关于它是如何获得新的应用是非常有趣的。在机器学习中，参与者是你输入的特征，而集体支出是模型预测。在这种情况中，Shapley 值用于计算每个单独的特征对模型输出的贡献。

如何计算 Shapley 值？大多数时候，你倾向于在文献中看到这个等式：

 

 

让我们把它分解一下。在一个联盟游戏（前面描述的场景）中，我们有一组 N 个玩家。我们还有一个函数 v，它给出了这些参与者的任何子集的值，也就是说，S 是 N 的子集，然后 v（S）给出了该子集的值。因此，对于一个联合博弈（N，v），我们可以使用这个方程来计算玩家 i 的贡献，即 Shapley 值。

现在我不知道你会怎么想，但当我第一次遇到这个等式时，我的第一反应如下图：

 

 

我很难理解为什么它看起来是这样的。我花了一些时间研究之后，终于开始有了一些理解。所以，我们开始吧！

好吧，我们要做的第一件事是重写初始方程：

 

 

乍一看，这个公式似乎并没有变容易，但请不要着急。很快，我将分解方程的不同部分，以便理解它们，但我们也可以定义一个具体的场景，我们可以使用它来让所有部分都不那么抽象。

假设我们经营一家生产砖块的工厂。我们的一个生产团队由四个人组成：Amanda、Ben、Claire 和 Don（从现在起，我将以他们名字中的第一个字母来称呼他们）。每周他们一起设法生产出 X 块砖。由于我们工厂运转良好，我们有一笔奖金要发给队员们。但是，为了让我们以公平的方式做到这一点，我们需要弄清楚每个人对每周生产 X 数量的砖块贡献了多少。

最困难的是，我们有好几个因素都会影响团队可以生产的砖块数量。其中之一是团队规模，因为团队规模越大，生产的砖块就越多。另一个可能是团队成员之间的合作程度。问题是，我们无法以有意义的方式量化这些影响，但幸运的是，我们可以使用 Shapley 值来回避这个问题。

我们现在已经定义了我们的玩家（A、B、C 和 D）以及他们参与的游戏（生产砖块）。让我们从计算生产的 X 砖中有多少可以归于 Don 开始，即计算 D 的 Shapley 值。如果我们把它与 Shapley 值公式的参数联系起来，我们就得到：

 

 

所以 D 是我们的球员 i，整个 N 组由所有四个队员 A，B，C 和 D 组成，我们先看一下 Shapley 值公式的这一部分：

 

 

也就是说，我们需要把我们的团队成员排除在我们现在关注的人之外。然后，我们需要考虑所有可能形成的子集。所以如果我们从组中排除 D，我们就只剩下 {A，B，C}。从这个剩余的组中，我们可以形成以下子集：

 

 

 

 

我们总共可以构造出其余团队成员的 8 个不同子集。其中一个子集是空集，即它没有任何成员。现在让我们把注意力转移到这个部分：

 

 

这是我们 Shapley 值的一个基本概念的应用：在游戏中增加玩家 i 的边际价值。所以对于任何给定的子集，我们要比较它的值和当包括玩家 i 的时候它的值。通过这样做，我们得到了将玩家 i 添加到该子集的边际值。

我们把它和我们的例子联系起来，想看看如果我们把 D 加到 8 个子集中的每一个子集上，每周生产的砖块数量有什么不同。我们可以将这 8 个边缘值直观地表示为：

 

 

你可以将每种情况都视为我们需要观察的不同场景，以便公平地评估 D 对整个生产的贡献程度。这意味着，我们需要观察如果没有人工作（即空集合）会产生多少砖块，并将其与只有 D 工作时的情况进行比较。我们还需要观察 AB 产生的砖块数量，并将其与 AB 产生的砖块数量以及所有 8 个集合中 D 可以产生的砖块数量进行比较。

好吧，我们现在已经知道我们需要计算 8 个不同的边缘值。Shapley 值方程告诉我们，我们需要把它们加在一起。然而，在我们做这些之前，我们还需要调整每一个边际值，从等式的这一部分可以看出：

 

 

它计算出除玩家 i 以外的所有剩余团队成员的子集的排列可以有多少个。或者换句话说：如果你有| N |-1 个玩家，你能用它们组成多少个| S |大小的组？然后我们用这个数字除以玩家 i 对所有大小为| S |的群体的边际贡献。

在我们的场景中，| N |-1=3，也就是说，当我们计算 D 的 Shapley 值时，这些是剩下的团队成员数量。在我们的例子中，我们将使用等式的那一部分来计算我们可以形成多少个 0、1、2 和 3 大小的组，因为这些只是我们可以用剩下的成员构造的组大小。因此，例如，如果有| S |=2，那么我们可以构造 3 个不同的大小为 2 的组：AB、BC 和 CA。这意味着我们应该对 8 个边缘值中的每一个应用以下比例因子：

 

 

让我们思考一下为什么要这样做。我们想知道 D 对团队总产出的贡献有多大。为了做到这一点，我们计算了他对我们所能形成的团队中每个集合的贡献。通过添加这个比例因子，我们平均了其他团队成员对每个子集大小的影响。这意味着，当我们将 D 加入到一个 0，1，2 和 3 大小的团队中时，我们能够捕获这些团队的平均边际贡献。

好了，我们差不多结束了，我们只有 Shapley 值方程的最后一部分要分解，这一点也应该很容易理解。

 

 

我们需要应用到所有的边际值，然后才能求和。我们必须把它们和总队员数分开。

我们为什么要这么做？好吧，如果我们看看砖厂的例子，我们已经平均出了其他团队成员对每个子集大小的影响，这样我们就可以算出 D 对 0、1、2 和 3 大小的组的贡献。最后一块拼图是平均小组规模的影响，也就是说，D 贡献了多少与小组规模无关。

我们现在终于可以计算出 D 的 Shapley 值了，我们观察到他对团队中所有不同的子集的贡献是多少。我们还对团队成员组成和团队规模的影响进行了平均，这最终允许我们计算：

 

 

数学符号更多的是一个图形化的说明，而不是一个数学的说明（这是我在脑海中想象它的方式）

在这里，我们得到了 D 的 Shapley 值。在我们为团队的其他成员完成这项工作之后，我们将知道每个人对每周生产的 X 块砖的贡献，这样我们就可以在所有团队成员中公平地分配奖金。

 

 

在这一点上，我希望你对 Shapley 的价值观有了更好的理解。很酷的是，我们不需要知道任何关于值函数 v 内部工作原理，只需要观察它为不同子集提供的值，我们可以从参与游戏的玩家中得到这些值。

这才是 Shapley 值背后真正的力量和吸引力。然而，这是有代价的。对于一组参与游戏的 n 个玩家，你将需要分析 2^n 个子集才能计算 Shapley 值。

有一些方法可以使计算更加实际可行，在引言中我提到了 SHAP 框架，它的主要优点是，当将 Shapley 值应用于机器学习时，它能够更有效地计算 Shapley 值。

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